Jiří Kostka pocházel ze starého divadelnického rodu, na svět přišel 5. října roku 1910 v Radvanicích. Od dětství se pohyboval v prostředí kočovných společností. Původně chtěl být letcem, ale na příslušné vzdělání neměla rodina peníze, nakonec se v něm projevily geny několika generací předků a začal hrát divadlo. V letech 1928-1941 hrál u různých kočovných společností (M. Nováková, V. Housa, J. Burda), za protektorátu získal angažmá ve stálých oblastních divadlech (Pardubice, Olomouc, Plzeň, Ostrava), na třicet let pak spojil své osudy s Divadlem J. K. Tyla v Plzni (1949-1979). Na divadelních jevištích ztvárnil za půlstoletí přes 500 postav, jeho herectví se vyznačovalo mužným charakterem, lidovou moudrostí a humorem.
Krátce po získání stálého angažmá v Plzni pronikl Kostka i do filmu; jeho filmovým debutem byla role foukače skla v dramatu PAN HABĚTÍN ODCHÁZÍ (1949). V průběhu 50. let hrál menší role v tendenčních filmech budovatelského charakteru, větší roli manžela hlavní hrdinky dostal v dramatu POLICEJNÍ HODINA (1961), další větší příležitost dostal ve filmu ZELENÉ OBZORY (1963), kde hrál po boku svého syna (Petr Kostka). Nadále ale hrál jen menší až epizodní role v řadě dnes již zapomenutých filmů, registrovat jej můžeme například v dětských filmech JAK SE TOČÍ ROZMARÝNY (1977) nebo DIVOKÝ KONÍK RYN (1981). V menší, ale zapamatovatelné dvojroli císaře Františka Josefa a jeho dvojníka Macháně se objevil v komedi JÁRA CIMRMAN, LEŽÍCÍ SPÍCÍ (1983). To bylo také jedno z posledních vystoupení Jiřího Kostky ve filmu; zemřel v Plzni 6. srpna 1985 ve věku nedožitých 75 let.
Jiří Kostka byl dvakrát ženatý, jeho první manželkou byla herečka Františka Skálová-Wintrová (1911-1973), podruhé se oženil s operetní herečkou Nettou Deborskou (1918-2002). Z prvního manželství pochází syn, herec Petr Kostka (*1938), z druhého manželství se pak narodila dcera, divadelní herečka Zora Kostková (*1952).
