Narodil se 1. července 1899 Plzni jako Jindřich Šolle. Ke svému pozdějšímu jménu přišel díky rozevláté peleríně, kterou s oblibou jako školák nosil a která na jeho vysokém a hubeném těle vlála. Po absolvování obchodní akademie v Plzni (1918) byl nejdříve zaměstnán v plzeňské Ústřední bance československých spořitelen. V letech 1918 – 1919 pobýval služebně v Krakově, od roku 1919 pracoval v Praze jako praktikant Poštovní spořitelny. Již v této době tajně vystupoval na různých malých scénách. Po náhlém a předčasném odchodu do penze ze zdravotních důvodů v roce 1927 se věnoval jen umělecké činnosti. Se svou ženou Alenou měli dvě děti, dceru Alenu a syna Zdeňka.
Jako herec vystřídal řadu scén a kabaretů. Divadlo začal hrát již ochotnicky ve svém rodišti. Po příchodu do Prahy se začal objevovat se svými vlastními sólovými čísly (oblíbené a známé bylo číslo „Potlachy Vůněslavy Acetylénové“) v různých kabaretech (například Kabaret Satyr v Nuslích, Červená sedma /1921/, Rokoko, Varieté, Divadlo Vlasty Buriana /1927 – 1928/ atd.). Jeho první stálejší angažmá bylo v Osvobozeném divadle (1929 – 1930), v roce 1930 odešel opět do Rokoka a odtud ve stejném roce znovu do Divadla Vlasty Buriana, kde hrál až do roku 1933. Vystupoval opět v Osvobozeném divadle (1933 – 1937), v Tylově divadle v Nuslích (1937 – 1938), v Divadle U Nováků (1938 – 1941) a ve Velké operetě (1941 – 1944). V této době pohostinsky vystupoval i v Nezávislém divadle.
Po osvobození byl členem Divadla 5. května (1945 – 1948) a rovněž zájezdového Vesnického divadla, nazvané jako Divadlo pod Plachtou (1946). V letech 1948 – 1949 byl angažován v činohře Národního divadla. Sem ho chtěl již ve třicátých letech angažovat K. H. Hilar. Plachta pro svojí skromnost a nesmělost (někteří herci tvrdili, že tyto vlastnosti pouze předstíral) odmítl tuto i další výhodné nabídky. Na naší nejpřednější scéně však dlouho nevydržel – v sezóně 1950 – 1951 již vystupoval v Divadle na Vinohradech. Další jeho divadelní působení zhatila předčasná smrt.
Jeho divadelní a herecké práci i rozvoji herectví bránily veliká tréma a nedůvěřování si, kterými trpěl celý život. Vystupoval zejména v komediálních rolích, ve kterých uplatňoval své vyzáblé, dlouhé tělo, velký nos, svérázný, originální obličej, charakteristickou dikci a hlas. Jeho nejvýznamnějšími divadelními rolemi byl Maleček ve Vančurově „Josefíně“, pan Franc v Jiráskově „Lucerně“ či krejčí v „Janu Husovi“. Těžiště jeho umělecké činnosti však spočívalo ve filmu, který mu přinesl neskutečně velikou popularitu.
Jako přesvědčený komunista jezdil hrát na vesnice, do továren a do dolů. Jako horník dobrovolně brigádničil v kladenských dolech, které mu podlomily zdraví. Na vyčerpání z těžké práce v dolech Plachta zemřel 6. listopadu 1951 v Praze ve věku pouhých padesáti dvou let. Díky svým rolím starých mládenců, které hrál již ve svých třiceti letech, si diváci ani neuvědomovali, že byl tak mladý. Díky svému hereckému umění se Jindřich Plachta zapsal (a stále zapisuje) do srdcí několika generací filmových diváků.
